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用跑得最慢的电脑程序,理解最高深的哥德巴赫猜想

五条规则的图灵机可视化。每列像素代表一步计算,步骤从左到右。黑色代表1。最右边表示图灵机的停机。(图片来源:Peter Krumins/Quanta Magazine)
“忙碌的河狸”这个问题的目的是为了找到运行时间最长的电脑程序。对它的研究与哥德巴赫猜想、黎曼猜想等一系列数学难题建立了惊人而又深刻的联系。
程序员总想让代码跑的更快。可在1962年,匈牙利数学家蒂博尔·拉多(Tibor Radó)却提出了截然相反的问题:要怎么才能让一个简单的电脑程序在终止之前跑的尽可能久?拉多将这样跑得尽可能低效但仍有效的程序称为“忙碌的河狸”。
自从《科学美国人》于1984年刊载这则问题之后,众多程序员和业余数学爱好者们份份开始寻找“忙碌的河狸”。不过最近几年,由于与一些高大上的概念与数学未解的难题建立起联系,“忙碌的河狸”已经变成了非常严肃的数学问题,
得克萨斯大学的理论计算机科学家斯科特·亚伦森近日发表了一篇关于“忙碌河狸学”的调查,他说:“在数学上,娱乐和真正重要的问题,其边界非常模糊。”
最近一项研究表明,这些得跑到猴年马月的程序,或许能澄清一些数学命题,甚至告诉我们哪些内容是可知的。据研究者们称,忙碌的河狸能帮助我们判断一个数学问题的难易程度,比如哥德巴赫猜想和黎曼猜想。它能让人一目了然地看到数理逻辑到哪里就该走不下去了。逻辑学家库尔特·哥德尔(Kurt G?del)在大半个世纪之前就证明了,有一些命题既不能证明也不能证伪,也就是所谓的“不可知”。不过现在,忙碌的河狸能为我们指出,这个“不可知”究竟位于什么地方,就如同一张古老的地图指引旅者走向世界的边缘。
无法计算的问题
“忙碌的河狸”这个问题,归根结底是关于图灵机——这是阿兰·图灵(Alan Turing)于1936年提出的一种理想化模型,其中有一条被分为正方形小块的长度无限的纸带,用笔在上面写或者擦去记号,这些操作需要满足一套给定的规则,比方说:
规则1. 如果正方形中含有0,则擦掉改成1;然后向右一格,使用规则2;
规则2. 如果正方形中含有1,那就不改,然后向左一格使用规则3;
……
每一项规则都像冒险棋一样。有些规则甚至可以让你跳回到之前的规则。在这些规则中,最终有一条“停机”的指令。图灵证明,如果时间充足,规则得当的话,图灵机就能做任何计算。
图灵称,为了真正计算出一个结果,图灵机最终必须得停机——不能卡死或者陷入循环。判别是否能停机的问题称为停机问题。他在1936年证明了世界上并不存在解决停机问题的万精油算法。
而“忙碌河狸”提出了以下问题:给定有限条规则,那么图灵机在停机之前最多能走多少步?
蒂博尔·拉多(图片来源:俄亥俄州立大学档案)
比方说,我们只用一条规则,又要保证图灵机停机,那么这条规则肯定就必须包含停机指令。我们把停机问题的最长步数称为忙碌河狸数,那么BB(1) = 1,因为最多走一步就得停机。
自变量稍有增加,需要考虑的图灵机数量就会爆炸性增长。如果允许有两条规则,就有6561种图灵机,而它们中,只有一只“忙碌的河狸”,它最长可以走6步。其他大多数图灵机都不停机,这些不停机的肯定不是“忙碌的河狸”,不过对于一般的情况,要怎么才能区别出它们?毕竟前面图灵已经证明,不管图灵机跑了1000步还是100万步,都不能咬定图灵机不会停下来。
这样就使得寻找忙碌河狸的任务异常艰巨。规则的条数随便一改,我们就得从头开始找最长步数的图灵机,没有捷径。即是说,一般的“忙碌的河狸” 问题是“不可计算的“。
要证明 BB(2) = 6 和 BB(3) = 107 就已经非常复杂了,拉多的学生 Shen Lin 做出了这个成果,并于1965年获得了博士学位。拉多认为, BB(4) 的问题是“彻底的绝望“,不过还是有人在1983年解决了这个问题。除此之外,研究人员对于5条规则的情况,已经找到了一种图灵机,它在运行47 176 870步之后停机,也就是说,BB(5) 起码比这个数字要大。而 BB(6) 最小也得有7.4 × 1036534。亚伦森说:“除非能找到新观点新思路,否则这个问题根本不可能得到解决。”
不可知的阈值
威廉·加斯塔克(William Gasarch)是马里兰大学学院市分校的计算机科学家,他关心的不是如何解决忙碌河狸数问题,相反他对“一般的不可计算问题”非常感兴趣。他和其他数学家正以此为基础,来估计数学上一些未解之谜的困难程度,或是看看这些问题究竟是否是可知的。
比方说哥德巴赫猜想,说的是对于任何大于2的偶数,总能分解为两个质数的和。要是这个问题能得到解决,那么数论这一学科将迎来史诗般的一刻,数学家对质数分布的了解也会更加深入。2015年,一位网名为Code Golf Addict的Github用户发布了一台27条规则的图灵机代码。这台图灵机非常特别,它当且仅当哥德巴赫猜想不成立时,才会停机。其实很简单,它一开始工作,就会从4开始,挨着检查哥德巴赫猜想(当然也是靠遍历)。如果找到了所需的两个质数,就往上继续,以此往复。如果发现了不能表示为质数和的偶数,就会停机。
这种暴力的方法是不可能解决哥德巴赫猜想的,因为如果不停机,我们永远也不会知道猜想是不是正确的。不过,“忙碌河狸”问题为我们提供了一些思路。假如我们能计算出 BB(27) ,那我们最多也只需运行 BB(27) 这么多步,再往上如果还没停机的话,就说明哥德巴赫猜想成立。毕竟 BB(27) 就是27规则停机问题的最大步数了。如果在此之前就停机,自然说明猜想不成立。
困难在于,BB(27) 是如此大的一个数,写下来都很难,要运行那么多次去检验哥德巴赫猜想,这在我们的宇宙中是远不可能的。虽然如此,那个巨大的数字仍然是一个具体的数,亚伦森称,这代表着我们对于数论领域“现有知识的陈述”。
图片来源:Pixabay
2016年,亚伦森同尤里·马季亚谢维奇(Yuri Matiyasevich)、斯特凡·奥里尔(Stefan O’Rear)一同做了一项类似的工作。他们设计了一台744条规则的图灵机,当且仅当黎曼猜想不成立时停机。黎曼猜想同样与质数的分布有关,是七大千禧问题之一,奖金高达一百万美元。亚伦森的这台图灵机只要运行 BB(744) 步,就能解决黎曼猜想。当然这里也是同样暴力的算法,挨着遍历直到反例出现。
BB(744) 比 BB(24) 又大了很多很多。不过亚伦森说道,要是深入研究一些简单的问题,比如 BB(5) ,“就有可能从中发现一些本身就很有趣的数论问题。”例如,数学家帕斯卡尔·米歇尔(Pascal Michel)在1993年证明,目前保持着5规则步数记录的那个图灵机,其规则与考拉兹猜想中函数行为极其相似,而后者是数学中又一个著名的未解之谜。
亚伦森说道:“这么多问题可以归结为‘图灵机是否停机?’,那如果我们能知道所有的‘忙碌河狸数’,就能解决所有问题。”
最近,亚伦森又在使用一种基于“忙碌河狸”的方法去测量整个数学系统的“不可知阈值”。哥德尔1931年证明了他那著名的不完备定理:对任意的公理集合,要么公理不相容(也就是会产生矛盾),要么不完备(存在不可证明的真命题)。而现代数学赖以生存的ZF集合公理也毫不例外地存在哥德尔界限。而亚伦森想要用“忙碌河狸”去估计它的边界具体在哪里。
2016年,他和他的研究生亚当·叶迪迪亚(Adam Yedidia)鼓捣出了一台7910条规则的图灵机,当且仅当ZF集合理论不相容时停机。这就是说 BB(7910) 次计算就能得到ZF集合理论的相容性。而这些公理本身在计算 BB(7910) 的时候是用不到的,就像我们算2 + 2 = 4的时候用不到集合公理时一样。
奥里尔紧接着提出了一个更简单的748条规则的图灵机,同样用来检测ZF公理。这样就把不可知的阈值降低了。奥尔良州立大学名誉教授,数理逻辑学家哈维·弗里德曼(Harvey Friedman)说:“这有些戏剧性,规则数变得没那么夸张了。”弗里德曼认为,这些数字还能进一步降低:“我觉得最终答案应该在50左右。”而亚伦森认为,真正的阈值应该接近BB(20) 。
无论大小,不可知的阈值的确是存在的。亚伦森说道:“自从哥德尔以来,我们的世界就一直是如此(不可知);而‘忙碌河狸’函数得以让这一切更加清晰明了。”
撰文:John Pavlus
翻译:张和持
编辑:吴非
引进来源:quantamagazine
引进链接:https://www.quantamagazine.org/the-busy-beaver-game-illuminates-the-fundamental-limits-of-math-20201210/


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原文地址《 用跑得最慢的电脑程序,理解最高深的哥德巴赫猜想》发布于2020-12-22

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